本网讯 8月29日，我院2026年SPARK高水平暑期研学项目“不变量与图”课程圆满落下帷幕。本课程自8月17日启动，历时两周，由来自俄罗斯莫斯科物理技术学院（Moscow Institute of Physics and Technology，MIPT）的瓦西里·曼图罗夫（Vassily Manturov）教授主讲，以腾讯会议/ZOOM线上授课方式开展。课程共32学时，内容涵盖小消去群、辫群、自由纽结与奇偶性理论、图值不变量、群不变量与群表示等前沿课题。
▲Manturov教授线上授课
在为期两周的课程中，Manturov教授通过11场专题讲座，从纽结理论的基础出发——包括Reidemeister变换、纽结不变量、等价性与区分性的基本问题——逐步引领学生深入探索了“不变量与图”的数学世界，系统讲授了组合群论与低维拓扑的核心方法与前沿进展。课程从组合群论的基石——小消去群与Van Kampen引理入手，逐步展开辫群理论及其不变量，进而引入自由纽结、奇偶括号与图值不变量等核心概念，为学生建立起从代数到几何的完整认知框架。在此基础上，课程进一步聚焦于群 Gnk理论及其推广，探讨托勒密关系与辫不变量的深刻联系，以及模型中的五边形结构。随后，Manturov教授介绍了“摄影法”的精髓——如何不写方程而解方程，并讲解了Turaev-Viro不变量和Dijkgraaf–Witten不变量及其在现代数学物理中的应用。课程最后以“相似图形引发学科交叉”为主题，将辫、簇代数、热带几何与摄影法融为一体，展现了数学不同分支之间深刻的联系。
▲Manturov教授组织讨论环节
Manturov教授以清晰的逻辑和生动的几何直观，将抽象的理论深入浅出地呈现给学生。Manturov教授精通中文，在每次讲座开头都会以一首唐诗或《论语》名句作为引入，将中华古典智慧与数学思想巧妙对照。这一别具匠心的做法，不仅让同学们倍感亲切，也展现了数学与人文之间意想不到的共鸣，极大激发了大家的学习热情。同时，课程安排了答疑和习题讲解环节，同学们积极提问、参与讨论，课堂氛围活跃。
本次SPARK暑期课程“不变量与图”反响热烈，选课人数约60人，以24级数学与应用数学（师范）专业学生为主。参与课程的同学纷纷表示，连续两周的系统学习让他们对纽结理论与组合群论建立了系统的认识。一位同学说道：“Manturov教授从最基础的概念讲起，一步步把我们带到研究前沿，这种体验非常难得。”另一位同学则表示：“教授对 Gnk 理论的讲解让我看到了代数与几何之间深刻的联系，启发了我对拓扑学研究的兴趣。”Manturov教授在结课总结中充分肯定了同学们的积极参与和进步，并表示希望未来能有更多机会与广外学子交流。
作为SPARK高水平暑期研学项目的重要组成部分，本次课程是我院高水平、国际化办学特色的体现，也是深化本科教学改革、引入海外优质师资与课程资源的又一次成功践行。课程全程采用全英文授课，不仅有效提升了学生的英语应用能力和学术沟通能力，也开拓了学生的国际视野，为他们今后从事数学研究、参与国际学术交流打下了良好基础。目前，全部课程录像已上传至Bilibili平台，供感兴趣的同学和研究者随时回看与学习。
Manturov教授简介：Manturov教授2016年当选俄罗斯科学院教授，是纽结领域权威期刊Journal of Knot Theory and Its Ramifications的执行主编之一。他在低维拓扑与纽结理论领域发表了超过150篇论文和7部专著，提出“奇偶性理论”（parity theory），创立了“摄影法”（photography method），提出了对模空间、辫群和代数几何具有深远意义的群 Gnk理论，并组织过包括首届线上世界纽结理论大会在内的多项重要国际学术活动。
